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By André Neubauer

Die diskrete Fourier-Transformation DFT stellt eines der wichtigsten Werkzeuge der digitalen Signalverarbeitung und der Signaltheorie dar. Sie besitzt eine Vielzahl von Anwendungen wie beispielsweise in der Informations- und Kommunikationstechnik, in der technischen Informatik, in der Messtechnik und in der Medizintechnik. Das Lehrbuch bietet eine leicht verständliche elementare Einführung in die Grundlagen der DFT. Neben den Eigenschaften und Korrespondenzen der DFT werden ihre effiziente Implementierung mit Hilfe der schnellen Fourier-Transformation FFT erläutert sowie als wichtiges Anwendungsbeispiel die schnelle Faltung behandelt. Sämtliche im Buch für die Behandlung der DFT benötigten mathematischen Grundlagen werden beschrieben und erleichtern somit sowohl Studierenden als auch Schülern den Zugang zu diesem für praktische Anwendungen wichtigen und interessanten Themenfeld. Aufgrund der eingefügten Beispiele sowie der detaillierten Herleitungen ist das Buch sowohl vorlesungsbegleitend als auch zum Selbststudium hervorragend geeignet.​

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DFT - Diskrete Fourier-Transformation: Elementare Einfuhrung

Die diskrete Fourier-Transformation DFT stellt eines der wichtigsten Werkzeuge der digitalen Signalverarbeitung und der Signaltheorie dar. Sie besitzt eine Vielzahl von Anwendungen wie beispielsweise in der Informations- und Kommunikationstechnik, in der technischen Informatik, in der Messtechnik und in der Medizintechnik.

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Wissenschaftliche Forschungsberichte, Reihe I, Abt. B,Band fifty eight

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Ausschließlich an der diskreten FourierTransformation interessierte Leser können diesen Abschnitt überspringen. 5 Exkurs: Fourier-Transformation 37 Die entsprechende Rücktransformationsformel der Fourier-Transformation lautet ∞ ˜ f ) ⋅ ejπ f t d f . 18) −∞ Anstelle der Summation Σ wie bei den Transformationsformeln der diskreten FourierTransformation ist die Fourier-Transformation mit Hilfe eines Integrals ∫ definiert. Wie das kontinuierliche Signal x˜ (t) über der Zeitachse −∞ < t < ∞ ist das kontinuierliche ˜ f ) definiert über der Frequenzachse −∞ < f < ∞.

2 Spiegelung 49 N sowie der modulo-Rechnung definiert gemäß x(−k) = x(−k mod N) = { x() , x(N − k), k=  ≤ k ≤ N − beziehungsweise ausführlich x(−) = x() , x(−) = x(N − ) , x(−) = x(N − ) , ⋮ x(−N + ) = x() . Die zugehörige Spektralfolge folgt aus N− DFT {x(−k)} = ∑ x(−k) ⋅ e−jπ kℓ/N k= N− = x() + ∑ x(−k) ⋅ e−jπ kℓ/N k= N− = x() + ∑ x(N − k) ⋅ e−jπ kℓ/N . k= Mit der Ersetzung des Index N − k durch den Index k ergibt sich N− DFT {x(−k)} = x() + ∑ x(N − k) ⋅ e−jπ kℓ/N k=  = x() + ∑ x(k) ⋅ e−jπ(N−k)ℓ/N k=N− N− = x() + ∑ x(k) ⋅ e−jπ N ℓ/N ⋅ ejπ kℓ/N k= N− = x() + ∑ x(k) ⋅ e−jπℓ ⋅ ejπ kℓ/N k= N− = x() + ∑ x(k) ⋅ ejπ kℓ/N k= N− = ∑ x(k) ⋅ ejπ kℓ/N k= N− = ∑ x(k) ⋅ e−jπ k(−ℓ)/N k= = X(−ℓ) 50 4 Eigenschaften der DFT unter Verwendung der π-Periodizität der harmonischen Funktion e−jϕ .

4 Matrixdarstellung der DFT Zur kompakteren Darstellung der diskreten Fourier-Transformation wird ein so genannter Drehfaktor w N = e−jπ/N = cos ( π π ) − j sin ( ) N N eingeführt. Unter Verwendung dieses Drehfaktors mit kℓ = w Nkℓ , −kℓ = w−kℓ N e−jπ kℓ/N = (e−jπ/N ) ejπ kℓ/N = (e−jπ/N ) schreiben wir die DFT-Transformationsgleichungen wie folgt. 9) 28 3 Definition der DFT Abb. 10)  N− −kℓ ∑ X(ℓ) ⋅ w N N ℓ= Der in Abb. 10 veranschaulichte Drehfaktor w N besitzt reichhaltige Symmetrieeigenschaften.

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